一元二次方程和复数

求解一元二次方程的思路

求解一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 的思路，将该方程转化为 (x−x′)2=K(x-x')^2=K(x−x′)2=K，得到 x=±K+x′x = \pm\sqrt{K}+x'x=±K​+x′

所以有如下转化过程：

ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0x2+bax=−cax2+bax+b24a2=b24a2−ca(x+b2a)2=b2−4ac4a2

ax^2+bx+c=0 \\

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\

x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\

(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\

ax2+bx+c=0x2+ab​x+ac​=0x2+ab​x=−ac​x2+ab​x+4a2b2​=4a2b2​−ac​(x+2ab​)2=4a2b2−4ac​

由此可以得到，

K=b2−4ac4a2x′=−b2a

K=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\

x' = -\frac{b}{2a}

K=4a2b2−4ac​x′=−2ab​

所以得到求根公式：

x=−b±b2−4ac2a

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=2a−b±b2−4ac​​

引入虚数 iii 后，方程的解

当 b2−4ac<0b^2-4ac < 0b2−4ac<0 时，由 −a=ai,a>0\sqrt{-a} = \sqrt{a}i,a>0−a​=a​i,a>0 可知， b2−4ac=4ac−b2i\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4ac-b^2}ib2−4ac​=4ac−b2​i

最后方程的解为：

−b±b2−4ac2a,b2−4ac>=0−b±4ac−b2i2a,b2−4ac<0

\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},b^2-4ac>=0 \\

\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a},b^2-4ac<0 \\

2a−b±b2−4ac​​,b2−4ac>=02a−b±4ac−b2​i​,b2−4ac<0

方程的解，要么都为实数根，要么都为复数根